わたなべじゃんけん
多人数の「じゃんけん」で1人の勝者を選ぶには、最後の１人が決まるまで何回もじゃんけんをしなければなりません。
「わたなべじゃんけん」は、1回のじゃんけんで、1人の勝者を1発で決めることができる画期的なじゃんけんです。
- 「わたなべじゃんけん」のやりかた
- 「わたなべじゃんけん」の例（ビデオ）
- わたなべじゃんけんの特長
- わたなべじゃんけんの由来
わたなべじゃんけんのやりかた
やりかたはとても簡単です！
１．参加者に１から順番に番号を振っていきます（誰かを1番とし、右回りに振ると良いでしょう）。
図は4人の例です。
２．「わたなべじゃんけん、ジャンケンポン！」の掛け声で、各参加者は１から人数までの好きな数を指で出します。
（ゼロ、すなわちじゃんけんの「グー」はダメです。）
３．全員の指の数を合計し、人数で割った余りを計算します。最初に振った番号と余りが一致した人が勝ちです。
（余りが０の場合は、一番大きい数（＝人数）の人が勝ちです）。
余りが３なので、3番の勝ち。
（余りが０なら4番のパパの勝ちです。）
ビデオを見ると感じがつかめます→ビデオ
わたなべじゃんけんの特長
わたなべじゃんけんには以下の特徴があります。
- 1人の勝者が１回で決まる
- 子供にも大人にも公平−どの数字を出しても、どの参加者も勝つ確率が等しくなる
（正確には「すべての指を出す確率が等しいことがナッシュ均衡」で、なおかつ「ナッシュ均衡で参加者が勝つ確率が等しい） - 楽しい
1人の勝者が１回で決まる
多人数でじゃんけんをすると、なかなか勝者が決まらないということはありませんか？以下の表は10人でジャンケンをしたときに1回の勝者が決まるまでに平均して何回かかるかをシミュレーションしたものです。
じゃんけんで勝者が決まるまでの平均回数
人数 |
平均回数 |
2 |
1.5 |
3 |
2.1 |
4 |
3.0 |
5 |
4.3 |
6 |
6.0 |
7 |
8.4 |
8 |
11.9 |
9 |
16.9 |
10 |
24.1 |
渡辺(2008) モンテカルロシミュレーションによる結果
この結果によると、10人でジャンケンをすると1人の勝者が決まるまでに平均で24回かかります。24回もじゃんけんをやるのは大変で、9人や10人のときにわたなべじゃんけんは効果を表します。
6人だと、普通のジャンケンは平均6回で勝者を選び出します。しかし「6回程度のジャンケンなら．．．」と甘く考えてはいけません！ シミュレーション結果では、ジャンケンを13回以上もやらなければならない事が10%程度の確率で起こりえることがわかりました。しかも1%の確率で20回を超えることもあります。
わたなべじゃんけんなら、どんなときも一発で勝者を決めることができます。
わたなべじゃんけんが公平な理由(1)
例えば3人のときを考えてみましょう。例えばＡさん、Ｂさん、Ｃさんの3人でワタナベジャンケンをするときに、起こりうる組合せを考えてみましょう。
ここで最初に決める番号はＡさんが１、Ｂさんが２、Ｃさんが３としておきます。
3人が出す指の数のすべての組合せを考えるにはどうすれば良いでしょうか。これは、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの順に出す指を1-1-1,1-1-2,1-1-3,1-2-1,1-2-2,1-2-3,1-3-1,1-3-2,1-3-3…と辞書的に並べて数えていけば良さそうですね。組合せは27通りあります。
まずＡさん、Ｂさんが１を出したときを考えます（１−１−＊）。このとき
- Ｃさんが１を出せば（合計は3で、3で割って余りは0なので）Ｃさんの勝ち
- Ｃさんが２を出せば（合計は４で、3で割って余りは１なので）Ｂさんの勝ち
- Ｃさんが３を出せば（合計は５で、3で割って余りは２なので）Ｂさんの勝ちです。
つまりこの場合、Ａさん・Ｂさん・Ｃさんが勝つ組合せは1通りずつになることがわかります。
次にＡさんが１、Ｂさんが２を出したときを考えます（１−２−＊）。このときＣさんが１を出せば（合計は4で、3で割って余りは1なので）Ａさんの勝ち、２を出せばＢさんの勝ち、３を出せＣさんの勝ちです。この場合もＡさん・Ｂさん・Ｃさんの勝つ組合せは1通りずつです。
これでもうお分かりと思いますが、ＡさんとＢさんが何を出しても、Ｃさんのすべての指の出し方（3通り）に対して、Ａさん・Ｂさん・Ｃさんが勝つ組合せは1通りずつです。ＡさんとＢさんのすべての指の出し方について、これが成り立つので、ＡさんとＢさんとＣさんが勝つ組合せは同じであることが分かります。以下のような表にしてみると分かるでしょう。
１−１−１ Ｃ |
１−１−２ Ａ |
１−１−３ Ｂ |
１−２−１ Ａ |
１−２−２ Ｂ |
１−２−３ Ｃ |
１−３−１ Ｂ |
１−３−２ Ｃ |
１−３−３ Ａ |
２−１−１ Ａ |
２−１−２ Ｂ |
２−１−３ Ｃ |
・ |
||
| 指の組合せと勝者 | ||
このことは3人だけではなく、何人であっても成り立つことが分かるでしょう。わたなべじゃんけんは、すべての人のすべての指の組合せで、各参加者が勝つ組合せは等しくなることが分かります。
わたなべじゃんけんが公平な理由（２）
すべての指の組合せに対して、各参加者が勝つ組合せの数が等しければ、じゃんけんは公平なのでしょうか？すべての人が、等確率で指を出せばこれは正しい命題です。すべての人が勝つ確率は等しいわけですから。しかしこれは、ゲーム理論の観点から言えば誤りです。
これを明確にするために、Ａさん、Ｂさん、Ｃさんの３人のじゃんけんで、ＡさんとＢさんは１か２を出し、Ｃさんだけが１か２か３を出せるじゃんけんを考えてみましょう。このときすべての指の組合せは１２通り、勝者は以下のような表で決まります。
１−１−１ Ｃ |
１−１−２ Ａ |
１−１−３ Ｂ |
１−２−１ Ａ |
１−２−２ Ｂ |
１−２−３ Ｃ |
２−１−１ Ａ |
２−１−２ Ｂ |
２−１−３ Ｃ |
２−２−１ Ｂ |
２−２−２ Ｃ |
２−２−３ Ａ |
このときすべての指の組合せにおいて、ＡさんとＢさんとＣさんが勝つ組合せはそれぞれ４通り。もしＡさんとＢさんとＣさんが同じ確率で指を出すなら、すべての人に公平なじゃんけんに見えます。しかしこれは明らかにおかしいです。なぜでしょう。
Ｃさんは、自分が１を出したときに自分が勝つ組合せは１通り（１−１−１）、２を出しても自分が勝つ組合せは１通り（２−２−２）ですが、３を出したときに自分が勝つ組合せは２通りあります（１−２−３、２−１−３）。従って、もしＡさんとＢさんが１と２の指を等確率で出してくるならば、Ｃさんはもはや１と２と３の指を等確率では出さず、３の指を出した方が勝つ確率が高くなります。（ゲーム理論的には「等確率ですべての指を出すことはナッシュ均衡ではない」）
わたなべじゃんけんは、すべての指を等確率で出すことがナッシュ均衡になっており、そのナッシュ均衡ですべての人が勝つ確率は等しくなる公平なじゃんけんです。
