わたなべじゃんけん
多人数の「じゃんけん」で1人の勝者を選ぶには，最後の１人が決まるまで何回もじゃんけんをしなければなりません．
「わたなべじゃんけん」は，1回のじゃんけんで，1人の勝者を1発で決めることができる画期的なじゃんけんです．
- 「わたなべじゃんけん」のやりかた
- 「わたなべじゃんけん」の例（ビデオ）
- わたなべじゃんけんの特長
- わたなべじゃんけんの由来
わたなべじゃんけんのやりかた
やりかたはとても簡単です！
１．参加者に１から順番に番号を振っていきます（誰かを1番とし，右回りに振ると良いでしょう）．
図は4人の例です．
２．「わたなべじゃんけん，ジャンケンポン！」の掛け声で，各参加者は１から人数までの好きな数を指で出します．
（ゼロ，すなわちじゃんけんの「グー」はダメです．）
３．全員の指の数を合計し，人数で割った余りを計算します．最初に振った番号と余りが一致した人が勝ちです．
（余りが０の場合は，一番大きい数（＝人数）の人が勝ちです）．
余りが３なので，3番の勝ち．
（余りが０なら4番のパパの勝ちです．）
ビデオを見ると感じがつかめます→ビデオ
わたなべじゃんけんの特長
わたなべじゃんけんには以下の特徴があります．
- 1人の勝者が１回で決まる
- 公平な決め方
- 誰もが勝つ確率が同じー皆がどの指も同じ確率で出すならば
- どの指を出しても勝つ確率は同じー偏りなく指を出すことがナッシュ均衡
- 分かりやすいじゃんけんーフランスじゃんけんは各拳を出す確率が違う
- 楽しい
1人の勝者が１回で決まる
多人数でじゃんけんをすると，なかなか勝者が決まりません．1人の勝者を選び出すためには，平均して何回くらいじゃんけんをしなければならないのでしょうか．ジャンケンで1人の勝者が決まるまで，平均して何回ジャンケンが必要かをシミュレーションしてみました．
じゃんけんで勝者が決まるまでの平均回数 |
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渡辺(2008) モンテカルロシミュレーションによる |
この結果によると，10人でジャンケンをすると1人の勝者が決まるまでに平均で24回かかります．24回もじゃんけんをやるのは大変です．8人以上，9人や10人のときにわたなべじゃんけんが効果を表すことが分かります．
6人だと，普通のジャンケンは平均6回で勝者を選び出します．しかし「6回程度のジャンケンなら．．．」と甘く考えてはいけません！ シミュレーション結果では，ジャンケンを13回以上もやらなければならない事が10%程度の確率で起こりえることがわかりました．しかも1%の確率で，勝者が決まるまでに20回を超えることもあります．
わたなべじゃんけんなら，どんなときも一発で勝者を決めることができます．
誰もが勝つ確率が同じー皆がどの指も同じ確率で出すならば
わたなべじゃんけんは，参加者のすべての指の出し方に対して，どの参加者も勝つ場合の数は同じです．つまり，参加者がすべての指を等確率に出せば，どの参加者も勝つ確率が同じであることを示すことができます．
例えば3人の場合－Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの3人－でワタナベジャンケンをするときを考えてみましょう．
ここでＡさんが１，Ｂさんが２，Ｃさんが３としておきます．
3人が出す指をAさん，Bさん，Cさんの順に並べ，誰が勝つかを表にしてみます．例えば「１－１－２ A」と書いてあるのは，Aさんが１を，Bさんが１を，Cさんが２を出したときにAさんが勝つことを示しています．（１＋１＋２＝４で３で割った余りは２なので）
１－１－１ C |
１－１－２ A |
１－１－３ B |
１－２－１ A |
１－２－２ B |
１－２－３ C |
１－３－１ B |
１－３－２ C |
１－３－３ A |
２－１－１ A |
２－１－２ B |
２－１－３ A |
２－２－１ B |
２－２－２ C |
２－２－３ B |
２－３－１ C |
２－３－２ A |
３－３－３ C |
３－１－１ B |
３－１－２ C |
３－１－３ A |
３－２－１ A |
３－２－２ A |
３－２－３ B |
３－３－１ C |
３－３－２ B |
３－３－３ C |
すべての指の組み合わせと勝者
これから分かるように，すべての指の組合せは２７通りで，Aさん，Bさん，Cさんが勝つ組合せはそれぞれ９通り．３人が勝者になる確率は等しく３分の１であることが分かります．
なぜこうなるか考察を進めてみましょう．上の表の各行はＡさんとＢさんが出す指が同じであることに対応し，Ｃさんが，１，２，３を出す３通りの指で３つのマスが分けられています．そして各行ごとに，Aさん，Bさん，Cさんが勝つ組合せはちょうど１通りずつ存在します．このことから３人が勝つ場合の数は同じになることが分かります．もう少し詳しく見てみましょう．
まず１行目－Ａさん，Ｂさんが１を出したとき－を考えます（１－１－＊）．このとき
- Ｃさんが１を出せば（合計は3で，3で割って余りは0なので）Ｃさんの勝ち
- Ｃさんが２を出せば（合計は４で，3で割って余りは１なので）Ｂさんの勝ち
- Ｃさんが３を出せば（合計は５で，3で割って余りは２なので）Ｂさんの勝ちです．
つまりこの場合，Ａさん・Ｂさん・Ｃさんが勝つ組合せは1通りずつになることがわかります．
次に２行目－Ａさんが１，Ｂさんが２を出したとき－を考えます（１－２－＊）．このときＣさんが１を出せば（合計は4で，3で割って余りは1なので）Ａさんの勝ち，２を出せばＢさんの勝ち，３を出せＣさんの勝ちです．この場合もＡさん・Ｂさん・Ｃさんの勝つ組合せは1通りずつです．
もうお分かりと思いますが，ＡさんとＢさんが何を出しても，Ｃさんのすべての指の出し方（3通り）に対して，Ａさん・Ｂさん・Ｃさんが勝つ組合せは1通りずつです．ＡさんとＢさんのすべての指の出し方について，これが成り立つので，ＡさんとＢさんとＣさんが勝つ組合せは同じであることが分かります．
このことは3人だけではなく，何人であっても成り立つことが分かるでしょう．一般にn人でわたなべじゃんけんを行うとき，n-1人の出す全ての指の組合せに対して，残り1人が１からnまでの指を出したとき，すべての参加者が勝つ指の組合せはちょうど1通りずつになります．これによって，わたなべじゃんけんでは，各参加者が勝つ指の組合せの数は等しく(nのn-1乗通り）なることが分かります．
どの指を出しても勝つ確率は同じー偏りなく指を出すことがナッシュ均衡
すべての指の組合せに対して，各参加者が勝つ組合せの数が等しければ，それだけでじゃんけんは公平なのでしょうか？「すべての人が等確率に指を出す」ことを前提とするならば，これは正しいと言えます．しかしこれは，ゲーム理論の観点から言えば誤りです．
これを明確にするために，Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの３人のじゃんけんで，ＡさんとＢさんは１か２だけを出し，Ｃさんだけが１か２か３を出せるような「非対称なわたなべじゃんけん」を考えてみましょう．このときすべての指の組合せは１２通り，勝者は以下のような表で決まります．
１－１－１ Ｃ |
１－１－２ Ａ |
１－１－３ Ｂ |
１－２－１ Ａ |
１－２－２ Ｂ |
１－２－３ Ｃ |
２－１－１ Ａ |
２－１－２ Ｂ |
２－１－３ Ｃ |
２－２－１ Ｂ |
２－２－２ Ｃ |
２－２－３ Ａ |
このときすべての指の組合せにおいて，ＡさんとＢさんとＣさんが勝つ組合せはそれぞれ４通り．もしＡさんとＢさんとＣさんが同じ確率で指を出すなら，すべての人に公平なじゃんけんに見えます．しかしこれは明らかにおかしいです．なぜでしょう．
Ｃさんは，自分が１を出したときに自分が勝つ組合せは１通り（１－１－１），２を出しても自分が勝つ組合せは１通り（２－２－２）ですが，３を出したときに自分が勝つ組合せは２通りあります（１－２－３，２－１－３）．従って，もしＡさんとＢさんが１と２の指を等確率で出してくるならば，Ｃさんはもはや１と２と３の指を等確率では出さず，３の指を出した方が勝つ確率が高くなります．（ゲーム理論的には「等確率で各指を出すことがナッシュ均衡にならない」）
わたなべじゃんけんは，すべての指を等確率で出せば良く（ナッシュ均衡になっている），その「すべての指を等確率で出す」時に，すべての人が勝つ確率が等しくなる「公平なじゃんけん」です．
（補足）ちなみにこの3人ゲームのナッシュ均衡は，利得の設定を勝ちを+1，負けとあいこを0とすると，
- Aさんは，１を
，２を
の確率(１を0.38，２を0.62）で選び， - Bさんは，２を，２をの確率(１を0.38，２を0.62）で選び，
- Cさんは，１と２と３を1/3ずつの等確率で選ぶ
ことがナッシュ均衡となります．
分かりやすいじゃんけんーフランスじゃんけんは各拳を出す確率が違う
ただし等確率で指を出すことが良くない（ナッシュ均衡にならない）からといって，公平ではないと言うのは必ずしも正しくはありません．このことを考えるために「フランスのじゃんけん」というのを考察してみましょう．フランスはあまりじゃんけんで物事を決めないようですが（話し合いで決めるらしい），一応，じゃんけんらしいものは存在していて，それは「石・はさみ・木の葉・井戸」の４つの挙でできているそうです．（例えば「世界のじゃんけん」，「世界のじゃんけん (大人と子どものあそびの教科書) (単行本) 田中 ひろし (著), こどもくらぶ (編集) 」などを参照せよ）．このとき４つの拳の力関係は以下のようになっています．
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このじゃんけんでは，４つの拳を等確率で出すことは良い戦略ではありません（ナッシュ均衡にならない）．このじゃんけんでは，木の葉と井戸は２つの拳に勝ち1つの拳に負け，石とはさみは１つの拳に勝ち，2つの拳に負けるので，相手が等確率で４つの拳を出してくるならば，木の葉と井戸を出す確率を高くすれば勝つ確率を上げることができます．
しかし参加者がこのことを読み込んで，このじゃんけんに熟練すれば，このフランスのじゃんけんも公平なジャンケンであると考えられます．
2人でこのじゃんけんをするときは，木の葉，井戸，はさみを確率1/3で出し，石を使わないこと（確率0とする)ことが良い方法となります（注）．したがって，2人がこのことを分かっているほど賢い大人ならば，お互いがこの確率を選んでいるときは，自分の勝つ確率と相手の勝つ確率は1/3で同じです（あいこの確率も1/3)．
しかし相手がこのことが分からず，少しでも石を選んでくるならば，相手の勝つ確率は下がり自分の勝つ確率は上がります．ちなみに相手が４つの拳を等確率で選んでくるならば，自分の勝つ確率は5/12になります（1/12増加する）．
このように「フランスのじゃんけん」でも，賢い人同士にとっては公平なじゃんけんと言えます．しかし，このような計算をできない人にとっては公平とはいえません．そこで等確率で拳を出すことがナッシュ均衡であることを「大人にも子供にも公平なじゃんけん」と呼ぶことにしました．わたなべじゃんけんは「大人にも子供にも公平なじゃんけん」と言えます．
（注）均衡点の計算方法として利得の設定を(1)勝ちを+1，負けを-1，あいこを0とする（この場合はゼロ和2人ゲームなのでナッシュ均衡はミニマックス戦略と同じ） ，(2)勝ちを+1，負けとあいこを同じ0とする，という2つの方法がありますが，このゲームではどちらにしても均衡戦略は同じで「木の葉，井戸，はさみを確率1/3で出し，石を確率0とする」となります．
わたなべじゃんけんの由来
メカニズムデザインとわたなべじゃんけん
わたなべじゃんけんは，メカニズムデザインの中に現れる「modulo game」と呼ばれるメカニズムをヒントにして，考えついたものです．メカニズムデザインは，人々の利己的で戦略的な行動を考慮したうえで，売買のシステム・オークション・公共財の配分や税の徴収・企業の規制方法など，さまざまな制度がうまく実現できるかどうかをゲーム理論や実験経済学の手法を用いて考察する理論です．
2007年度のノーベル経済学賞は，このメカニズムデザインの功績を称えて，ハーヴィッツ・マスキン・マイヤーソンに与えられました．一般の方にはなじみが薄いかもしれませんが，経済学やゲーム理論では大変注目されている分野です．また日本人の若手研究者が目立つ分野でもあります．
modulo gameは，メカニズムデザインの初期の研究によく現れるメカニズムです．大雑把に言えば，人々が戦略的な行動から正直な表明をしなかった場合は，わたなべじゃんけんのように陥るようなメカニズムです．わたなべじゃんけんのようになってしまえば，かならずそこから指を変えて結果を変えた方が良い人が現れるので，そのような正直ではない行動が，戦略的な行動の帰結（ナッシュ均衡）にはならないことを保証します．
このmodulo gameは，上記のようなナッシュ均衡に基づいたメカニズムの設計（Nash implementationという）に効果がある素晴らしい発明でしたが，現実に売買のシステムや公共財の配分などを考えると，このような「数字を言わせて余りで決める」という制度が現実に受け入れられる可能性は薄く，そのことなどが批判されて，最近では見ることが少なくなりました．
私は若い頃，このアイディアを見たときに，素晴らしいものだと思い大変感激しました．実際の売買システムや，財の配分に使われることはなくても，何とかこの方法を有益に使えないかと考えて，わたなべじゃんけんを思いつきました．
モーラ(Morra)とわたなべじゃんけん
面白い発明（？）だと思ったわたなべじゃんけんですが，このようなやり方は（さすがに）考えていた人が他にいたようです．
wikipediaにモーラ(morra)の紹介があります．
日本版
英語版
モーラは古代ギリシャからあるフィンガーゲームです．基本的のルールとしては，1から5までの指を出すと同時に数を叫び，指の合計を当てた人が１点を獲得するというゲームです．また別バージョンでは，各プレイヤーは奇数か偶数にラベルづけされます．全員で同時に1から5までの指を出し，合計が奇数か偶数で競い合います．
そして，アメリカ版のwikipediaのモーラの項には「このゲームは，剰余を用いて多人数のプレイヤーに拡張できる．n人のプレイヤーに対し，0から1の数を割り当てる．3つ数えて，各プレイヤーは０を含むn未満の数を指で出す．指の数の合計をnで割った余りに当たっている人が勝者」と書かれています．
わたなべじゃんけんは，私の大発明とは行かなかったようです！